Momotik.ru

Народный проект

Метки: Аффинные преобразования литература, аффинные преобразования матрицы, аффинные преобразования неподвижные точки, аффинные преобразования криптография, аффинные преобразования масштабирование пример.

красный тругольник переходит в синий при афинном преобразовании

Аффи́нное преобразование — отображение , которое можно записать в виде

где  — обратимая матрица и .

Иначе говоря, преобразование называется аффинным, если его можно получить следующим образом:

  1. Выбрать «новый» базис пространства с «новым» началом координат ;
  2. Каждой точке пространства поставить в соответствие точку , имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и в «старой».

Содержание

Свойства

  • При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
    • Если размерность пространства , то любое преобразование пространства (то есть биекция пространства на себя), которое переводит прямые в прямые, является аффинным. Это определение используется в аксиоматическом построении аффинной геометрии
  • Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции.
  • Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.

Примеры

Типы аффинных преобразований

  • Эквиаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее площадь (также, сохраняется аффинная длина).
  • Центроаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее начало координат.

Матричное представление

Как и другие проективные преобразования, аффинное преобразование можно записать как матрицу перехода в однородных координатах:

Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в OpenGL[1]; в DirectX (где координаты представляются в виде матриц 1×4) она транспонирована[2].

Вариации и обобщения

  • В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел .
  • Отображение между метрическими пространствами называется аффинным, если оно переводит геодезические в геодезические (с учётом параметризации).
  • Аффинные преобразования пространства являются подмножеством проективных преобразований того же пространства. В свою очередь, проективные преобразования пространства можно представить как аффинные преобразования пространства .

См. также

Примечания

  1. OpenGL Transformation  (англ.). Архивировано из первоисточника 23 августа 2011. Проверено 4 августа 2010.
  2. Transforms (Direct3D 9)  (англ.). Архивировано из первоисточника 23 августа 2011. Проверено 4 августа 2010.

Ссылки

  • Аффинное преобразование плоскости и его матричное представление

Tags: Аффинные преобразования литература, аффинные преобразования матрицы, аффинные преобразования неподвижные точки, аффинные преобразования криптография, аффинные преобразования масштабирование пример.