Momotik.ru

Народный проект

Метки: Интерполяция аппроксимация экстраполяция, интерполяция геодезия, интерполяция методом лагранжа.

О функции, см.: Интерполянт.

Интерполя́ция, интерполи́рование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса-Торина (Riesz-Thorin theorem) и теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), являющиеся основой для множества других работ.

Содержание

Определения

Рассмотрим систему несовпадающих точек () из некоторой области . Пусть значения функции известны только в этих точках:

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что

  • Точки называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.
  • Пары называют точками данных или базовыми точками.
  • Разность между «соседними» значениями  — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным так и постоянным.
  • Функцию  — интерполирующей функцией или интерполянтом.

Пример

1. Пусть мы имеем табличную функцию, наподобие описанной ниже, которая для нескольких значений определяет соответствующие значения :

0 0
1 0,8415
2 0,9093
3 0,1411
4 −0,7568
5 −0,9589
6 −0,2794

Интерполяция помогает нам узнать какое значение может иметь такая функция в точке, отличной от указанных (например, при x = 2,5).

К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.


2. Найти промежуточное значение (способом линейной интерполяции).

6000 15.5
6378  ?
8000 19.2

Способы интерполяции

Интерполяция методом ближайшего соседа

Простейшим способом интерполяции является интерполяция методом ближайшего соседа.

Интерполяция многочленами

На практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами. Это связано прежде всего с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций (теорема Вейерштрасса).

Обратное интерполирование (вычисление x при заданном y)

Интерполяция функции нескольких переменных

Другие способы интерполяции

Смежные концепции

  • Экстраполяция — методы нахождения точек за пределами заданного интервала (продление кривой)
  • Аппроксимация — методы построения приближённых кривых

См. также


Tags: Интерполяция аппроксимация экстраполяция, интерполяция геодезия, интерполяция методом лагранжа.