Momotik.ru

Народный проект

Метки: Квантовый гармонический осциллятор, квантовый гармонический осциллятор это, квантовый гармонический осциллятор формула, квантовый гармонический осциллятор задачи.

Гармонический осциллятор в квантовой механике представляет собой квантовый аналог простого гармонического осциллятора, при этом рассматривают не силы, действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полную энергию гармонического осциллятора, причём потенциальная энергия предполагается квадратично зависящей от координат. Учёт следующих слагаемых в разложении потенциальной энергии по координате ведёт к понятию ангармонического осциллятора.

Содержание

Задача о гармоническом осцилляторе в координатном представлении

Волновые функции в координатном представлении первых восьми состояний, . По горизонтали отложена координата , по вертикали — значение волновой функции . Графики не нормированы.

Гамильтониан квантового осциллятора массы m, собственная частота которого ω, выглядит так:


В координатном представлении , . Задача об отыскании уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению таких чисел E при которых следующее дифференциальное уравнение в частных производных

имеет решение в классе квадратично интегрируемых функций.

Для

решение имеет вид:

 \psi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot \exp
\left(- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar} \right) \cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right),

функции  — полиномы Эрмита:

Данный спектр значений E заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, уровни энергии дискретны и равноотстоящи, то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна , во-вторых наименьшее значение энергии равно . Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.


Операторы рождения и уничтожения

Гораздо проще спектр гармонического осциллятора можно получить с помощью операторов рождения и уничтожения, сопряжённых друг другу.

Оператор рождения:

Оператор уничтожения:

Их коммутатор равен

С помощью операторов рождения и уничтожения гамильтониан квантового осциллятора записывается в компактном виде:

,

где  — оператор номера уровня (чисел заполнения). Собственные вектора такого гамильтониана являются фоковскими состояниями, а представление решения задачи в таком виде называется «представлением числа частиц».

Ангармонический осциллятор

Под ангармоническим осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейшим приближением ангармонического осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в ряде Тейлора:

Точное решение задачи о спектре энергии такого осциллятора довольно трудоёмкое, однако можно вычислить поправки к энергии, если предположить, что кубическое слагаемое мало по сравнению с квадратичным, и воспользоваться теорией возмущений.

В представлении операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования), кубическое слагаемое равно

Этот оператор имеет нулевые диагональные элементы, а потому первая поправка теории возмущений отсутствует. Вторая поправка к энергии произвольного невакуумного состояния равна

Многочастичный квантовый осциллятор

В простейшем случае взаимодействия нескольких частиц можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая взаимодействие соседних частиц по квадратичному закону:

Здесь под и подразумеваются отклонение (от положения равновесия) и импульс -той частицы. Суммирование ведётся только по соседним частицам.

Такая модель приводит к теоретическому обоснованию фононов — бозе-квазичастиц, наблюдающихся в твёрдом теле.

Переходы под влиянием внешней силы

Под влиянием внешней силы квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии () на другой (). Вероятность этого перехода для осциллятора без затухания даётся формулой:

,

где функция определяется как:

,

а  — полиномы Лагерра.

См. также

Tags: Квантовый гармонический осциллятор, квантовый гармонический осциллятор это, квантовый гармонический осциллятор формула, квантовый гармонический осциллятор задачи.