Momotik.ru

Народный проект

Метки: Четырехугольник является квадратом если, периметр четырехугольника описанного около окружности равен 56 11 и 18, abcd выпуклый четырехугольник ab 6 см bc 9 см.

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ
┌─────────────┼────────────┐
невыпуклый выпуклый самопересекающийся
┌─────────────┼─────────────┐
Вписанный трапеция описанный
| ┌───────────┤ |

равнобедренная трапеция

равнобокая

параллелограмм

стороны параллельны

выпуклый ромбоид (дельтоид)

диагонали перпендикулярны
└─────┬─────┘ └─────┬─────┘

прямоугольник

прямые углы

Ромб

равнобедренный
└──────────┬─────────┘

квадрат


Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники (см. рис.).

Содержание

Виды четырёхугольников

  1. Параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны попарно равны и параллельны;
    • Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;
    • Ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;
    • Квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;
  2. Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны;
  3. Дельтоид — четырёхугольник, у которого две пары смежных сторон равны.

Четырёхсторонник

Хотя такое название может быть эквивалентно четырёхугольнику, в него часто вкладывают дополнительный смысл. Четвёрка прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, называется четырёхсторонником. Такая конфигурация встречается в некоторых утверждениях евклидовой геометрии (например, теорема Менелая, прямая Гаусса, прямая Обера и др.), в которых часто все прямые являются взаимозаменяемыми.

Свойства

  • Сумма углов четырёхугольника равна 2 π = 360°.
  • Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180° (). См. также теорема Птолемея.
  • Четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны ()
  • Формула Эйлера: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумму квадратов его диагоналей.
  • Средние линии четырёхугольника и отрезок, соединяющий середины его диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
  • Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершин.
  • Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
  • Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
  • Средние линии четырёхугольника равны тогда и только тогда, когда равны суммы квадратов его противоположных сторон.
  • См. также свойства центроида четырёхугольника.
  • Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением:
.

Его можно представить ещё в виде:


\left|
\begin{matrix} 
0&a^2&e^2&d^2&1 \\
a^2&0&b^2&f^2&1 \\
e^2&b^2&0&c^2&1 \\
d^2&f^2&c^2&0&1 \\
1&1&1&1&0
\end{matrix}
\right|

Площадь

Площадь произвольного четырёхугольника с диагоналями , и углом между ними (или их продолжениями), равна:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

  • , где e, f — длины диагоналей, a, b, c, d — длины сторон.
  • , где p — полупериметр. Из этой формулы для вписанных 4-угольников следует формула Брахмагупты.

Особые случаи

Если 4-угольник и вписан, и описан, то .

История

В древности египтяне и некоторые другие народы использовали в качестве площади четырёхугольника неверную формулу — произведение полусумм его противоположных сторон a, b, c, d[1]: .

См. также

Примечания

  1. Г. Г. Цейтен История математики в древности и в средние века, ГТТИ, М-Л, 1932.

Литература

В Викисловаре есть статья «четырёхугольник»

Tags: Четырехугольник является квадратом если, периметр четырехугольника описанного около окружности равен 56 11 и 18, abcd выпуклый четырехугольник ab 6 см bc 9 см.