Квантовая механика

Принцип неопределённости

Введение Математические основы

Основа Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая сцепленность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга Интерпретации Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Квантовая хромодинамика · Квантовая гравитация Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Оператор — это математический символ для обозначения действия или программ действий, которые нужно совершить над некоторой функцией, чтобы однозначно получить другую функцию.

В квантовой механике операторы действуют на волновую функцию, являющуюся комплекснозначной функцией, дающей наиболее полное описание состояния системы, и обозначаются большими латинскими буквами с циркумфлексом наверху. Например:

Оператор действует на функцию, которая стоит справа от него (говорят также, что он применяется к функции или умножается на функцию):

В квантовой механике используется математическое свойство линейных самосопряженных (эрмитовых) операторов, заключающееся в том, что каждый из них имеет собственные векторы и собственные вещественные значения. Они выступают в роли соответствующих данному оператору значений физических величин.

Содержание 1 Арифметические операции над операторами 2 Собственные значения и собственные функции оператора 3 Линейные и самосопряжённые операторы 4 Операторы, используемые в квантовой физике 5 См. также 6 Литература

Арифметические операции над операторами

• Оператор называется суммой (разностью) операторов , если для любой функции из области определение всех трёх операторов выполнено условие:

• Оператор называется произведением операторов , если для любой функции выполнено условие:

В общем случае

Если , то говорят, что операторы коммутируют. Коммутатор операторов определяется как

Собственные значения и собственные функции оператора

Если имеет место равенство:

то называют собственным значением оператора , а функцию — собственной функцией оператора соответствующей данному собственному значению. Чаще всего у оператора имеется множество собственных значений: Множество всех собственных значений называется спектром оператора.

Линейные и самосопряжённые операторы

Оператор называется линейным, если для любой пары выполнено условие:

Оператор называется самосопряжённым (эрмитовым), если для любых выполнено условие:

При этом сумма самосопряжённых операторов есть самосопряжённый оператор. Произведение самосопряжённых операторов есть самосопряжённый оператор, если они коммутируют. Собственные значения самосопряжённых операторов всегда вещественны. Собственные функции самосопряжённых операторов, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны.

Операторы, используемые в квантовой физике

Основными характеристиками физической системы в квантовой физике являются наблюдаемые величины и состояния.

В квантовой физике наблюдаемым величинам сопоставляются линейные самосопряжённые операторы в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве, состояниям - классы нормированных элементов этого пространства (с нормой 1). Это делается в основном по двум причинам:

• Собственные значения самосопряжённых операторов, соответствующие конкретным значениям физических величин, являются вещественными числами, то есть тем, с чем на практике имеют дело экспериментаторы (показания приборов, результаты вычислений и т. д.).

• Одна и та же квантовая частица может находиться одновременно во множестве квантовых состояний, которые и характеризуются множеством собственных значений соответствующего оператора. Это может быть конечное множество (дискретный спектр значений), интервал (непрерывный спектр значений) или смешанное множество.

В квантовой физике существует «нестрогое» правило для построения оператора физических величин: соотношения между операторами в целом такое же, как между соответствующими классическими величинами. Основываясь на этом правиле, были введены следующие операторы (в координатном представлении):

• Оператор координат:

Действие оператора координат заключается в умножении на вектор координат.

• Оператор импульса:

Здесь — мнимая единица, — оператор набла.

• Оператор кинетической энергии:

Здесь — постоянная Планка, — оператор Лапласа.

• Оператор потенциальной энергии:

Действие оператора здесь сводится к умножению на функцию.

• Оператор Гамильтона:

• Оператор момента импульса:

• Оператор спина:

В важнейшем случае спина 1/2 оператор спина имеет вид:

, где

, , - т.н. матрицы Паули.

См. также

• Гейзенберговское представление операторов
• Представление Шрёдингера
• Оператор Гамильтона

Литература

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. "Теоретическая физика", в 10 т., т. 3, "Квантовая механика (нерелятивистская теория)", 5-е изд., М., Физматлит, 2002, 808 с., ISBN 5-9221-0057-2 (т. 3);
2. "Функциональный анализ", изд. 2, перер. и дополн. (серия "Справочная математическая библиотека",) коллектив авторов, ред. С.Г. Крейн, М., "Наука", 1972, 517.2 Ф 94 УДК 517.4(083, 544 с., гл. 9 "Операторы квантовой механики", с. 423-455;