Метки: Длинная арифметика решить онлайн, длинная арифметика pascal, длинная арифметика vb6, длинная арифметика делфи.
Длинная арифметика — в вычислительной технике операции (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, элементарные функции) над числами, разрядность которых превышает длину машинного слова данной вычислительной машины. Эти операции реализуются не аппаратно, а программно, используя базовые аппаратные средства работы с числами меньших порядков. Частный случай — арифметика произвольной точности — относится к арифметике, в которой длина чисел ограничена только объёмом доступной памяти.
Длинная арифметика применяется в следующих областях:
Строго говоря, для реализации арифметики произвольной точности от процессора требуется лишь косвенная адресация; в арифметике фиксированной точности можно обойтись даже без неё. Тем не менее, определённые функции процессора ускоряют длинную арифметику, одновременно упрощая её программирование.
Языки программирования имеют встроенные типы данных, размер которых, в основном, не превышает 64 бита (около 1019). Десятичная длинная арифметика была реализована в советских языках программирования АЛМИР-65 на ЭВМ МИР-1 и АНАЛИТИК на ЭВМ МИР-2.
Для работы с большими числами, в современных языках программирования существует довольно много готовых оптимизированных библиотек для длинной арифметики.
Большинство функциональных языков позволяют переключаться с обычной арифметики на длинную без необходимости изменения кода арифметических расчётов. Например, Erlang и Scheme всегда представляют точные числа длинными. В Standard ML реализации всех разновидностей целых чисел определяются на основании сигнатуры INTEGER, позволяя выбирать необходимую размерность,— в том числе присутствует модуль IntInf, реализующий целые числа произвольной точности; в реализации PolyML этот модуль используется по умолчанию.
Встроенные библиотеки работы с большими числами есть в Ruby, Python и Java.
Для описания алгоритмов обычно используется следующее представление целых чисел. Выбирается основание . Тогда целое число длины можно представить в виде:
,
где [1]
Представляет собой алгоритм по школьному методу «в столбик». Занимает время , где — размеры перемножаемых чисел.
Алгоритм может быть представлен в виде: [1] [2]
Algorithm 1 BasecaseMultiply
Input:
Output:
for from to do
Метод умножения Карацубы относится к парадигме «разделяй и властвуй». Сложность вычисления алгоритма:
Данный алгоритм представляет собой простую реализацию[3] идеи разделения входных данных, которая стала базисной для нижеперечисленных алгоритмов. Идея заключается в разделении одной операции умножения над -значными числами на три операции умножения над числами длины плюс [1].
Для перемножения двух чисел, превышающих длину машинного слова, алгоритм Карацубы вызывается рекурсивно до тех пор, пока эти числа не станут достаточно маленькими, чтобы их можно было перемножить непосредственно. Пример такого алгоритма:
Algorithm 2 KaratsubaMultiply
Input:
Output:
KaratsubaMultiply
KaratsubaMultiply
KaratsubaMultiply
Посчитаем :
Нужно вычислить три промежуточных коэффициента:
Результат:
Этот алгоритм является обобщением алгоритма Карацубы и работает быстрее. Для двух данных целых чисел и алгоритм Toom-a делит их на меньших частей, длина каждой из которых равна длине машинного слова, и производит операции над этими частями. Сложность вычисления алгоритма: .
Идея впервые была предложена А. Л. Тоомом в 1963 году[4], и заключается в разделении входных данных (множителей) на 3 равные части (для простоты все части считаем равными). Toom-3 сокращает число элементарных операций умножения с 9 до 5. Сложность алгоритма .
Рассмотрим данный алгоритм на следующем примере. Пусть дано два числа и . Пусть определены операции над числами, размер которых равен 1/3 от размеров исходных чисел (см. рисунок). Предположим также, что числа занимают равную память и делятся ровно на 3 части, в противном случае дополним оба числа нулями до необходимых размеров.
Затем происходит отображение (параметризация) этих частей на полиномы 2 степени.
Введем , по определению такую, что значение многочленов соответственно равно входным числам и . Для битового представления чисел это число равно возведению 2 в степень, равную длине каждой из частей в битах. Также введем полином:
(1)
После того как будут определены элементы — коэффициенты многочлена, они будут использованы в целях получения , так как . Размер коэффициентов в 2 раза больше (по памяти), чем разбиение или . Конечное число, равное произведению можно найти, складывая со сдвигом, как показано на рисунке ниже.
Коэффициенты могут быть вычислены следующим образом: и так далее, но это потребует все 9 перемножений: для i, j=0,1,2, и будет эквивалентно простому перемножению.
Вместо этого был использован иной подход. вычисляются в (1) в 5 точках при разных .
В таблице, представленной ниже, приведены значения полиномов в равенстве (1)
Параметр условный. Он означает банальное равенство коэффициентов при , тем самым мы получим значение сразу. Данная система линейна относительно 5 неизвестных. При её разрешении мы получаем неизвестные . Далее получаем значение многочлена, как было описано выше.
Сложность алгоритма . Представляет собой 7 элементарных операций умножения. Toom-4 разделяет входные данные на 4 части.
По такому же принципу как и в Toom-3 строим два полинома:
и вычисляются в 7 разных точках, также вычисляется значение в этих точках.
| откуда сразу получаем | |
| откуда сразу получаем |
Количество операций сложения и умножения для Toom-4 намного больше, чем для Toom-3. Но некоторые выражения встречаются по нескольку раз. Например, вычисляется для и для [5].
Алгоритм Тоома для разделения входных чисел на n операндов эквивалентен описанному выше. В общем случае разделение двух одинаково длинных операндов на частей приводит к вычислению значений в точках. В качестве точек для решения системы, обычно берут .
Данный алгоритм перемножения используется для больших и очень больших чисел.[6]
Этот алгоритм перемножает два числа за время , где — количество значащих цифр в перемножаемых числах (предполагая их равными). Создание приписывается Кули (Coolet) и Таки (Tukey) — 1965 г. Также есть предположения, что данный алгоритм был известен и раньше, но не имел большой важности до того как изобрели первые компьютеры. Вероятными кандидатами изобретения данного алгоритма также называют Рунг (Runge) и Кёниг (Konig) — 1924 г., а также Гаусса — 1805 г.
Пусть имеется число, представим его в виде многочлена, как мы делали ранее. Назовем этот многочлен . Также введем дискретное Фурье преобразование многочлена как вектор, с координатами . Где определены как — комплексный корень -ой степени из 1, не равный 1. Дело в том, что комплексный корень из 1 определен с точностью до фазового множителя, количество этих корней — . Фурье преобразование применено для того, чтобы свертку коэффициентов многочленов и : — заменить на произведение их Фурье образов.
,
где под умножением подразумевается скалярное произведение векторов.
Предположим, что есть степень двойки.
Нахождение производится рекурсивным методом (разделяй и властвуй). Идея заключается в разбиении исходного многочлена на два многочлена,
Тогда .
Заметим, что среди всех чисел , только различных. Поэтому, ДПФ и будут -элементными. А так как ДПФ и состоит из элементов, то комплексным корнем из 1 там будет корень степени .
Значит, , где и
.
Мы использовали свойства комплексных чисел: различных корней степени всего . .
Получаем рекурсивный алгоритм:
ДПФ одного элемента равно этому элементу
для нахождения ДПФ A разбиваем коэффициенты A на чётные и нечётные, получаем два многочлена и , находим ДПФ для них, находим ДПФ :
для .
Существует доказательство следующего утверждения: Обратное ДПФ находится аналогично прямому ДПФ, за исключением того, что в качестве точек берутся точки, симметричные относительно вещественной оси, вместо тех, что использовались в прямом ДПФ преобразовании. Также необходимо все коэффициенты многочлена поделить на n
Одним из алгоритмов вычисления квадратного корня является «Karatsuba Square Root»[7]
| Типы данных | |
|---|---|
| Неинтерпретируемые | |
| Числовые |
Целый • С фиксированной запятой • С плавающей запятой • Рациональный • Комплексный • Длинный • Интервальный |
| Текстовые | |
| Ссылочные |
Адрес • Ссылка • Ссылка в С++ • Указатель • Обёртка |
| Композитные |
Алгебраический тип данных (обобщённый) • Массив • Ассоциативный массив • Класс • Список • Кортеж • Объект • Структура • Множество • Объединение (меченое) |
| Другие |
Логический • Низший • Высший • Перечисляемый • Коллекция • Исключение • Функциональный • Род (Метакласс) • Монада • Семафор • Поток • Void |
| Связанные темы | |
Tags: Длинная арифметика решить онлайн, длинная арифметика pascal, длинная арифметика vb6, длинная арифметика делфи.