Окружность, вписанная в многоугольник ABCDE
Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.
В многоугольнике
Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
- Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру
В треугольнике
Свойства вписанной окружности:
- В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.
- Центр O вписанной окружности называется инцентром, он равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.
- Радиус вписанной в треугольник окружности равен
- Если AB — основание равнобедренного , то окружность, касающаяся сторон в точках A и B, проходит через точку О.
- Формула Эйлера: , где — радиус описанной вокруг треугольника окружности, — радиус вписанной в него окружности, O — центр описанной окружности, I — центр вписанной окружности.
- Если прямая, проходящая через точку О параллельно стороне AB, пересекает стороны BC и CA в точках A1 и B1, то .
- Точки касания вписанной в треугольник T окружности соединены отрезками — получается треугольник T1
- Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен .
- Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны равно .
- Расстояние от вершины C до центра вписаной окружности равно , где r — радиус вписаной окружности, а γ — угол вершины C.
- Расстояние от вершины C до центра вписаной окружности может так же быть найдено по формуле
- Теорема о трезубце или о трилистнике: Если — точка пересечения биссектрисы угла с описанной окружностью, а — центр вписанной окружности, то .
- Лемма Вертера[источник не указан 281 день]: пусть окружность касается сторон , и дуги описанной окружности треугольника . Тогда точки касания окружности со сторонами и центр вписанной окружности треугольника лежат на одной прямой. Это утверждение — частный случай леммы Накаямы[источник не указан 281 день].
В четырёхугольнике
Описанный четырёхугольник, если у него нет самопересечений («простой»), должен быть выпуклым.
В выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: .
Во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения противоположных сторон четырёхугольника. Эта прямая называется прямой Гаусса. Центр вписанной в четырёхугольник окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).
В сферическом треугольнике
Вписанная окружность для сферического треугольника — это окружность, касающаяся всех его сторон.
- Тангенс радиуса[1] вписанной в сферический треугольник окружности равен[2]:73-74
- Вписанная в сферический треугольник окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр вписанной окружности пересечет сферу в точке пересечения биссектрис углов (дуг больших кругов сферы, делящих углы пополам) сферического треугольника[2]:20-21.
См. также
Примечания
- ↑ Здесь радиус окружности измеряется по сфере, то есть представляет собой градусную меру дуги большого круга, соединяющей точку пересечения радиуса сферы, проведенного из центра сферы через центр окружности, со сферой и точку касания окружностью стороны треугольника.
- ↑ 1 2 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.
Литература
