Биссектриса (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла[1]. Биссектриса угла есть геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон угла.
В треугольнике под биссектрисой угла может также пониматься отрезок биссектрисы этого угла до её пересечения с противолежащей стороной треугольника.
Свойства
- Теорема о биссектрисе: Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон
- Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — инцентре — центре вписанной в этот треугольник окружности.
- Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
- Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.
- Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.
- Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса).
- Построение треугольника по трем заданным биссектрисам с помощью циркуля и линейки невозможно,[2] причём даже при наличии трисектора.[3]
Длина биссектрис в треугольнике
Для выведения нижеприведённых формул можно воспользоваться теоремой Стюарта.
где:
- — длина биссектрисы, проведённой к стороне ,
- — стороны треугольника против вершин соответственно,
- — полупериметр треугольника,
- — длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону ,
- — внутренние углы треугольника при вершинах соответственно,
- — высота треугольника, опущенная на сторону .
Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам[4].
Облегчает запоминание формулировки. Чаще всего употребляется детьми.
Примечания
- ↑ Биссектриса // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- Кто и когда доказал невозможность построения треугольника по трем биссектрисам?. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
- Можно ли построить треугольник по трем биссектрисам, если кроме циркуля и линейки разрешается использовать трисектор. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
- Учебные трудности пятиклассников
Литература
